Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\overbrace {9 + 99 + ... + 99...9}^n}}{{{{10}^n}}}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Chú ý kết quả cơ bản \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{{a^n}}} = 0\) với a > 1. Gọi L là giá trị của giới hạn cần tìm. Thế thì 

\(\begin{array}{l}
\mathop {L = \lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + ... + \left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{{{{10}^n}}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n} - n}}{{{{10}^n}}}\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{1 + 10 + ... + {{10}^{n - 1}}}}{{{{10}^{n - 1}}}} - \frac{n}{{{{10}^n}}}} \right)\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{{10}^{n - 1}} - 1}}{{{{9.10}^{n - 1}}}} - \frac{n}{{{{10}^n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{10}}{9} - \frac{1}{{{{9.10}^{n - 1}}}} - \frac{n}{{{{10}^n}}}} \right) = \frac{{10}}{9}
\end{array}\)