Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {1 + x + {x^2} + \frac{1}{x}} \right)^9}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có \({\left( {1 + x + {x^2} + \frac{1}{x}} \right)^9} = {\left( {1 + {x^2}} \right)^9}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^9}\)

\( = \left( {\sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 0}^9 {C_9^i\frac{1}{{{x^i}}}} } \right) = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{i = 0}^9 {C_9^kC_9^i{x^{2k - i}}} } \).

Từ đây ta cho 2k – i = 0 thì tìm được 5 cặp (i, k) thỏa mãn là (0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4). Vậy số hạng không chứa x là \(1 + C_9^1C_9^2 + C_9^2C_9^4 + C_9^3C_9^6 + C_9^4C_9^8 = 13051.\)