Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện.

* Hướng dẫn giải

Gọi x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Ta có \({V_{MBCD}} = \frac{x}{3}.{S_{BCD}},{V_{MCDA}} = \frac{y}{3}.{S_{CDA}},\)

\({V_{MDAB}} = \frac{z}{3}.{S_{DAB}},{V_{MABC}} = \frac{t}{3}.{S_{ABC}}\).

 Cộng lại ta thu được (chú ý rằng \({S_{BCD}} = {S_{CDA}} = {S_{DAB}} = {S_{ABC}} = S\)) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.(x + y + z + t).S.\) Suy ra \((x + y + z + t) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{S} = h\) với h là độ dài đường cao của tứ diện đều ABCD. Ta có

\(\begin{array}{l}
h = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {A{B^2} - \frac{4}{9}B{M^2}} \\
 = \sqrt {A{B^2} - \frac{4}{9}(B{C^2} - C{M^2})} \\
 = \sqrt {{a^2} - \frac{4}{9}({a^2} - \frac{1}{4}{a^2})}  = a\sqrt {\frac{2}{3}} 
\end{array}\) 

Vậy \(x + y + z + t = a\sqrt {\frac{2}{3}} \)