Cho tứ diện SABC có trọng tâm G. Một mặt phẳng qua G cắt các tia SA, SB và SC theo thứ tự tại A’, B’ và C’.

* Hướng dẫn giải

Gọi G₁ là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó \(\overrightarrow {SG}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {S{G_1}}  = \frac{1}{4}(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} ).\) 

Do \(G \in (A'B'C')\) nên tồn tại \(x,y,z \in R,x + y + z = 1\) sao cho \(\overrightarrow {SG}  = x\overrightarrow {SA'}  + y\overrightarrow {SB'}  + z\overrightarrow {SC'}  = \overrightarrow {xmSA}  + yn\overrightarrow {SB}  + zp\overrightarrow {SC} .\)

So sánh hai đẳng thức trên ta suy ra

\(\left( {xm - \frac{1}{4}} \right)\overrightarrow {SA}  + \left( {yn - \frac{1}{4}} \right)\overrightarrow {SB}  + \left( {zp - \frac{1}{4}} \right)\overrightarrow {SC}  = \overrightarrow 0 .\)

Nhưng do \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} \) là ba vecto không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(xm = yn = zp = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{{4m}},y = \frac{1}{{4n}},z = \frac{1}{{4p}}.\)

Từ đây và do \(x + y + z = 1\) ta thu được \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} = 4.\)