Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un = un-1 + n với mọi \(n \ge 2\).

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_{n - 1}} + n\\
 = {u_{n - 2}} + (n - 1) + n\\
 = {u_{n - 3}} + (n - 2) + (n - 1) + n\\
 = ...\\
 = {u_1} + 2 + 3 + ... + n\\
 = 1 + 2 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.
\end{array}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{2}.\)