Cho z là một số phức khác 0.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = a + bi(a,b \in R) \Rightarrow \overline z  = a - bi\). Thế thì

\(\frac{{\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{\left| {2a} \right| + \left| {2bi} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{2(\sqrt {{a^2}}  + \sqrt {{b^2}} )}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{2\sqrt {2({a^2} + {b^2})} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\sqrt 2 .\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left| a \right| = \left| b \right|\). Mặt khác \(\frac{{2(\sqrt {{a^2}}  + \sqrt {{b^2}} )}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \ge \frac{{2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0

Như vậy ta có \(2 \le \frac{{\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} \le 2\sqrt 2 \)