Hàm số \(f(x) = {(x - 1)^2} + {(x - 2)^2} + ... + {(x - n)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng

* Hướng dẫn giải

Ta viết lại hàm số đã cho thành

\(\begin{array}{l}
f(x) = n{x^2} - 2(1 + 2 + ... + n)x + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\
 = n{x^2} - n(n + 1)x + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\
 = n\left[ {{x^2} - 2.\frac{{n + 1}}{2}x + \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{4}} \right] - \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{4} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\
 = n{\left( {x - \frac{{n + 1}}{2}} \right)^2} - \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{4} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\\
 \ge  - \frac{{n{{(n + 1)}^2}}}{4} + {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}
\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{{n + 1}}{2}\)