Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\). Giá trị của \({f^{(n)}}(0)\]\) bằng

* Hướng dẫn giải

Trước hết ta viết lại hàm số đã cho thành

\(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 1}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\)

Từ đó \({f^n}(x) = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right)}^{(n)}} - {{\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)}^{(n)}}} \right].\)

Dễ dàng thấy rằng nếu \(y = \frac{1}{{ax + b}}\) thì \({y^n} = \frac{{n!{{( - a)}^n}}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}.\)

Áp dụng kết quả này ta được

 \({f^n}(x) = \frac{{n!{{( - 1)}^n}}}{2}\left[ {\frac{1}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}} - \frac{1}{{{{(x + 1)}^{n + 1}}}}} \right]\)

Suy ra

 \({f^n}(0) = \frac{{n!{{( - 1)}^n}}}{2}\left[ {\frac{1}{{{{( - 1)}^{n + 1}}}} - 1} \right] = \frac{{n!{\rm{[}}1 + {{( - 1)}^n}{\rm{]}}}}{2}.\)