Số a > 0 thỏa mãn \(\int\limits_a^2 {\frac{1}{{{x^3} + x}}} dx = \ln 2\) là

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\begin{array}{l}
\ln 2 = \int\limits_a^2 {\frac{1}{{{x^3} + x}}} dx = \int\limits_a^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)} dx\\
 = \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1)} \right)} \right|_0^2 = \left. {\ln \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right|_0^2 = \ln \frac{{2\sqrt {{a^2} + 1} }}{{a\sqrt 5 }}.
\end{array}\)

Từ đó suy ra \(\frac{{2\sqrt {{a^2} + 1} }}{{a\sqrt 5 }} = 2 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}.\)