Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (4 - 2m)x - 6}}{{2(x + 9)}}\) cách gốc

* Hướng dẫn giải

Để đồ thị có 2 điểm cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Ta tìm được điều kiện m < 0 hoặc \(m > \frac{{14}}{{33}}\). Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị có phương trình là

 \(y = \frac{{\left[ {m{x^2} + (4 - 2m)x - 6} \right]'}}{{{\rm{[}}2(x + 9){\rm{]}}'}} = mx + 2 - m.\)

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng này là \(h = \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{{{(2 - m)}^2}}}{{{m^2} + 1}}}  \Rightarrow ({m^2} + 1){h^2} = {m^2} - 4m + 4\)

\( \Rightarrow ({h^2} - 1){m^2} + 4m + {h^2} - 4 = 0\)                                   (*)

Khi h = 1 thì \(m = \frac{3}{4}\). Khi \(h \ne 1\) thì (*) là phương trình bậc 2 của m. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm là \(\Delta ' = 4 - ({h^2} - 1)({h^2} - 4) \ge 0\)

                                    \( \Rightarrow {h^2}({h^2} - 5) \le 0 \Rightarrow h \le \sqrt 5 .\)

Khi \(h = \sqrt 5 \) thì \(4{m^2} + 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{2}.\)