Hình vuông nội tiếp elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thì có diện tích bằng

* Hướng dẫn giải

Giả sử ABCD là hình vuông nội tiếp elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Khi đó các đỉnh A, B, C, D phải nằm trên một trong hai đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ 2. Giả sử A(m, m) với m>0. Khi đó AB = 2m và \({S_{ABCD}} = 4{m^2}\). Mà \(A\left( {m,m} \right) \in \left( E \right)\) nên ta có \(\frac{{{m^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{m^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow {m^2} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{4{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\)