Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {4 - {x^2}} \).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\sqrt {4 - {x^2}}  = t\) thì \({x^2} = 4 - {t^2}\) và \(0 \le t \le 2\). Hàm số đã cho trở thành \(y = f\left( t \right) =  - {t^2} + t + 4\)

Bằng cách lập bảng biên thiên của hàm số này trên đoạn [0;2] ta dễ dàng tìm được

\(\mathop {\max }\limits_{ - 2 \le x \le 2} y = \mathop {\max }\limits_{0 \le t \le 2} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\)

Và \(\mathop {\max }\limits_{ - 2 \le x \le 2} y = \mathop {\max }\limits_{0 \le t \le 2} f\left( t \right) = \min \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 2 \right)} \right\} = 2\)

Từ đó \(M + m = \frac{{17}}{4} + 2 = \frac{{25}}{4}\).