Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({2^x} - 1)({3^x} - 1)...({n^x} - 1)}}{{{x^n} - 1}}\) bằng

* Hướng dẫn giải

Áp dụng kết quả cơ bản \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{{{a^x}}} = \ln a\) ta được

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{3^x} - 1} \right)...\left( {{n^x} - 1} \right)}}{{{x^{n - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{2^x} - 1}}{x}.\frac{{{3^x} - 1}}{x}...\frac{{{n^x} - 1}}{x}} \right)\)

                                              \( = \ln 2.\ln 3...\ln n\).