Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với .

* Hướng dẫn giải

+) Ta có: \(\left( {BC',({\rm{AA'C'C}}} \right) = \widehat {BC'A} = {30^0}\) và \(\left( {BC',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {C'BC} = \alpha \) 

+) Đặt \(AB = x \Rightarrow BC = \sqrt {3{a^2} + {x^2}} \) 

\(\begin{array}{l}
CC' = BC.\tan a = \sqrt {\frac{{3({x^2} + 3{a^2})}}{5}} \\
AC' = AB.\cot {30^0} = x\sqrt 3 
\end{array}\) 

Ta có: \(A{C^2} + C{C'^2} = A{C'^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2  \Rightarrow CC' = a\sqrt 3 ,AC' = a\sqrt 6 \) 

+) Gọi P là trung điểm của B’C’, suy ra:

\(\left( {MNP} \right)//\left( {ABC'} \right),d\left( {MN,AC'} \right) = d\left( {\left( {MNP} \right),\left( {ABC'} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {ABC'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ABC'} \right)} \right)\)

Kẻ \(A'H \bot AC',A'H \bot \left( {ABC'} \right),d\left( {A',\left( {ABC'} \right)} \right) = A'H = {\rm{AA}} = \frac{{AA'.A'C'}}{{AC'}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) 

Suy ra: \(d\left( {MN,AC'} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)