Cho đồ thị (left( C ight):y = {x^3} - 3{x^2}).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x\) 

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm \(M\left( {{x_0},{x_0}^3 - 3{x_0}} \right)\) là:

\(y = \left( {3{x_0}^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^3 - 3{x_0}^2\) 

Tiếp tuyến qua \(\left( {0;b} \right) \Leftrightarrow \left( {3{x_0}^2 - 6{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^3 - 3{x_0}^2 = b \Leftrightarrow b =  - 2{x_0}^3 + 3{x_0}^2\) 

Có đúng một tiếp tuyến của (C) qua \(\left( {0;b} \right) \Leftrightarrow b =  - 2{x_0}^3 + 3{x_0}\) có đúng một nghiệm \({x_0}.\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(f(t) =  - 2{t^3} + 3{t^2}\) suy ra có 17 số nguyên \(b \in \left[ { - 9;9} \right]\backslash \left\{ {0;1} \right\}\) để đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^3} + 3{x^2}\) cắt đường thẳng y = b tại đúng một điểm.