Cho hàm số (f(x) = frac{{sin x - m}}{{sin x + 1}}.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \sin x,x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\). Ta được hàm số \(g(t) = \frac{{t - m}}{{t + 1}},t \in \left[ {0;1} \right]\). Ta có: \(g'(t) = \frac{{1 + m}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\) 

• \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1 \Rightarrow g'(t) > 0 \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(t) =  - 2 \Leftrightarrow g(1) =  - 2 \Leftrightarrow \frac{{1 - m}}{2} =  - 2 \Leftrightarrow m = 5\) (Thỏa mãn)
• \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - 1 \Rightarrow g'(t) < 0 \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(t) =  - 2 \Leftrightarrow g(0) =  - 2 \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{1} =  - 2 \Leftrightarrow m = 2\) (Không thỏa mãn)

Vậy m = 5.