Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = {x^3} - 3x + 1, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):y = 9x + 17

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp tuyến của tiếp điểm cần tìm.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 3.\) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\left( d \right):y = 9x + 17\) nên phương trình tiếp tuyến có dạng \(y = 9x + b,\left( {b \ne 17} \right).\) 

Khi đó \(y'\left( {{x_0}} \right) = 9 \Leftrightarrow 3{x_0}^2 - 3 = 9 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 2.\) 

Với \({x_0} = 2,\) ta có \(y'\left( {{x_0}} \right) = 9 \Leftrightarrow 3{x_0}^2 - 3 = 9 \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 2.\) Do đó phương trình tiếp tuyến là:

\(y = 9\left( {x - 2} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 9x - 15\)

Với \({x_0} =- 2,\) ta có \({y_0} = {\left( { - 2} \right)^3} - 3.\left( { - 2} \right) + 1 =  - 1.\) Do đó phương trình tiếp tuyến là:

\(y = 9\left( {x + 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 9x + 17\) (loại vì \(b \ne 17\))

Vậy phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là y = 9x - 15