Gọi \(x_0\) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(3{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x = 0\).

* Hướng dẫn giải

Phương trình: \(3{\sin ^2}x + 2\sin x.cosx - {\cos ^2}x = 0\,\,\left( * \right)\) 

\( + )\,\,\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình (*)

\( + )\,\,\cos x \ne 0\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
3{\sin ^2}x + 2\sin x.cosx - {\cos ^2}x = 0\,\, \Leftrightarrow 3\frac{{xi{n^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\frac{{\sin x}}{{cosx}} - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 3.{\tan ^2}x + 2\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x =  - 1\\
\tan x = \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\\
x = arc\tan \frac{1}{3} + k\pi ,k \in Z
\end{array} \right.\\

\end{array}\)

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \arctan \frac{1}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)