Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}}\).

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
3x + 1 \ge 0\\
4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{1}{3}\\
3x + 1 - 4\sqrt {3x + 1}  + 4 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{1}{3}\\
{\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right.\)  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{1}{3}\\
\sqrt {3x + 1}  - 2 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{1}{3}\\
3x + 1 \ne 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{1}{3}\\
x \ne 1
\end{array} \right.\) 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{ - {{\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}{{ - {{\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)}^2}\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}{{3\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)\left( {1 - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1}  + 2}}{{3\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)}} =  + \infty 
\end{array}\) 

\( \Rightarrow x = 1\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4\sqrt {\frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 3 - \frac{5}{x}}} =  - \frac{1}{3}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{ - 4\sqrt {\frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 3 - \frac{5}{x}}} =  - \frac{1}{3}
\end{array}\)                                     

\( \Rightarrow y =  - \frac{1}{3}\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.