Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;2019) để \(\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n}

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {3^{n + 1}}}}{{{5^n} + {9^{n + a}}}}}  = \lim \sqrt {\frac{{{9^n} + {{3.3}^n}}}{{{5^n} + {9^n}{{.9}^a}}}}  = \lim \sqrt {\frac{{1 + 3.{{\left( {\frac{3}{9}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^n} + {9^a}}}}  = \frac{1}{{{3^a}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{{3^a}}} \le \frac{1}{{2187}} = \frac{1}{{{3^7}}} \Leftrightarrow {3^a} \ge {3^7} \Leftrightarrow a \ge 7
\end{array}\) 

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \in \left[ {7;2019} \right)\\
a \in Z
\end{array} \right. \Rightarrow a \in \left\{ {7;8;9;...;2018} \right\}\).

Vậy có \(2018 - 7 + 1 = 2012\) giá trị của a thỏa mãn.