Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới.

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f(x)\) ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là x = 0 và \(x = a \in \left( {2;3} \right)\).

Do đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = a \in \left( {2;3} \right)
\end{array} \right.\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( {f\left( x \right)} \right).f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f'\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\\
f'\left( x \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
f\left( x \right) = a \in \left( {2;3} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
f'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}
{x_1} \in \left( { - 1;0} \right)\\
{x_2} = 1\\
{x_3} \in \left( {3;4} \right)
\end{array} \right.\)  

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = a \in \left( {2;3} \right)
\end{array} \right.\) 

6 nghiệm này hoàn toàn phân biệt.

Vậy phương trình \(g'(x)=0\) có 6 nghiệm phân biệt.