Biết rằng \(\int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx}  = a{e^\pi } + b\) trong đó \(a,b \in Q\). Tính \(P=a+b\)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx}  = a{e^\pi } + b\)

Đặt: \(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx}  = a{e^\pi } + b \Rightarrow I = \left. {{e^x}.\cos x} \right|_0^\pi  + \underbrace {\int_0^\pi  {{e^x}\sin xdx} }_{{I_1}} =  - {e^\pi } - e + {I_1}\)

Ta sẽ đi tính \({I_1} = \int_0^\pi  {{e^x}\sin xdx} \).

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \sin x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = {\rm{cos}}\,xdx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi  - \underbrace {\int_0^\pi  {{e^x}\cos xdx} }_I =  - I\)

\(I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx}  =  - {e^\pi } - e - I \Rightarrow 2I =  - {e^\pi } - e \Rightarrow I =  - \frac{1}{2}{e^\pi } - \frac{1}{2} \Rightarrow P = a + b =  - 1.\)