Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 10 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Đườ...

* Hướng dẫn giải

Vì \(N = {\rm{\Delta }} \cap d\) nên \(N \in d\), do đó \(N\left( { - 2 + 2t;1 + t;1 - t} \right)\).

Mà A(1;3;2) là trung điểm MN nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = 2{x_A} - {x_N}}\\
{{y_M} = 2{y_A} - {y_N}}\\
{{z_M} = 2{z_A} - {z_N}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = 4 - 2t,}\\
{{y_M} = 5 - t,}\\
{{z_M} = 3 + t.}
\end{array}} \right.\)

Vì \(M = {\rm{\Delta }} \cap \left( P \right)\) nên \(M \in \left( P \right)\), do đó \(2\left( {4 - 2t} \right) - \left( {5 - t} \right) + \left( {3 + t} \right) - 10 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2\).

Suy ra M(8;7;1) và N(- 6;- 1;3).

Vậy \(MN = 2\sqrt {66}  = 4\sqrt {16,5} \).