Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của A' xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC'A') tạo với đáy góc \(45^0\). Tính thể t...

* Hướng dẫn giải

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AM.

Do \(A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot AC\). Có \(HI{\rm{//}}BM,\;BM \bot AC \Rightarrow HI \bot AC\)

Do đó \(AC \bot \left( {A'HI} \right) \Rightarrow AC \bot A'I\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ACC'A') và (ABC) là góc giữa A'I và IH, tức là góc \(\widehat {A'IH} = 45^\circ \).                                      

Có \(IH = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Trong tam giác A'HI có \(A'H = IH.\tan \widehat {A'IH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\tan 45^\circ  = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{{16}}\)