Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\
\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)
\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right)\\
\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;0;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)\).

Do H là trực tâm của tam giác \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\
 - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\
 - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2a + c =  - 3\\
 - a - b + 3c = 0\\
 - a - 5b - 2c =  - 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1\\
c = 1
\end{array} \right.\). Do đó (a+b+c=4\).