Cho hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + {m^2} + 2m\,\,\left( C \right)\). Khi tham số thực m thay đổi nhận thấy đồ thị (C) luôn tiếp xúc với một parabol cố...

* Hướng dẫn giải

Để (C) tiếp xúc (P) thì phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm bội 2 trở nên. Tức là hàm số \(y=f(x)\) sẽ được phân tích dưới dạng: \(\left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = {\left( {x - {x_1}} \right)^3} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\\
f\left( x \right) = {\left( {x - {x_2}} \right)^2}\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)
\end{array} \right.\)  trong

đó các hệ số thực \(a, b, c\) là cố định không phụ thuộc vào tham số.

Ta có \(y = {x^3} - 2m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + {m^2} + 2m = {\left( {x - m - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 2x - 1\)

Suy ra parabol cố định là: \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x - 1\). Đỉnh I(1;- 2) \( \Rightarrow {x_I} - 2{y_I} = 5\)