Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x {{\rm{e}}^x}\), trục hoành và đường thẳng x = 1

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt x {{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Thể tích khối tròn xoay thu được là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x {{\rm{e}}^x}} \right)}^2}{\kern 1pt} {\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^1 {x{{\rm{e}}^{2x}}{\kern 1pt} {\rm{d}}x}  = \pi \left. {\left( {\frac{1}{2}x{{\rm{e}}^{2x}} - \frac{1}{4}{{\rm{e}}^{2x}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{\pi }{4}\left( {{{\rm{e}}^2} + 1} \right)\).