Cho parabol \((P):y=x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right)\) và \(B\left( {b;{b^2}} \right)\) là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

Không mất tính tổng quát giả sử \(a \).

Theo giả thiết ta có AB = 2 nên \({\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là \(y = \left( {b + a} \right)x - ab\).

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có

\(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]{\rm{d}}x}  = \left. {\left[ {\left( {a + b} \right)\frac{{{x^2}}}{2} - abx - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_a^b = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6}\)

Mặt khác \({\left( {b - a} \right)^2}\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + 1} \right] = 4\) nên \(\left| {b - a} \right| = b - a \le 2\) do \({\left( {b - a} \right)^2} + 1 \ge 1\).

Vậy \(S = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{6} \le \frac{{{2^3}}}{6}\). Vậy \({S_{\max }} = \frac{4}{3}\).