Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 2018 để phương trình \({e^{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - \sqrt {x + \frac{1}{x} + m} }} = \frac{{{x^3} + m{x^2} + x}}{{{x^4}...

* Hướng dẫn giải

Phương trình \( \Leftrightarrow \frac{{{e^{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}}}{{{e^{\sqrt {x + \frac{1}{x} + m} }}}} = \frac{{x + m + \frac{1}{x}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){e^{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \left( {x + \frac{1}{x} + m} \right){e^{\sqrt {x + \frac{1}{x} + m} }}.\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = t{e^{\sqrt t }}\) với \(t \ge 0\) và đi đến kết quả \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = x + \frac{1}{x} + m\)

\( \Leftrightarrow m = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - \left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2\)

Đặt \({t = x + \frac{1}{x} \ge 2}\) ta được \({t = x + \frac{1}{x} \ge 2}\)

Mà m là số nguyên dương nhỏ hơn 2020 nên \(m = \left\{ {1;2;3...2016;2019} \right\}.\)