Cho các số thực \(a, b, c\) thỏa \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right).\) Giá trị...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4a + 4b + 4c} \right) + \left( {4a + 4b + 4c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2.\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với t > 0 ta đi đến kết quả \(4a + 4b + 4c = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 10.\)

Ta lại có \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \left( {P - 1} \right)a + \left( {P - 2} \right)b + \left( {P - 3} \right)c = 0.\) Đến đây ta dùng điều kiện để mặt phẳng và mặt cầu có điểm chung.