Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\) và \(\left| {z - 3 - 3i} \right| = 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 2} \right|\)

* Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z ta có: \(\left| {z - 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \le {x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow y \le 3;\left| {z - 3 - 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \) điểm M nằm trên đường tròn tâm I(3;3) và bán kính bằng 1. Biểu thức \(P = \left| {z - 2} \right| = AM\) trong đó A(2;0), theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z - 2} \right|\) đạt được khi M(4;3) nên \(\max P = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \).