Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) (với \(a,b,c,d,e \in R\) và \(a \ne 0;{\rm{ }}b \ne 0\)) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt....

* Hướng dẫn giải

Gọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và trục hoành là \({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3},{\rm{ }}{x_4}.\) Suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right).\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\)

\( + \,a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right).\)

Ta có \(g\left( {{x_i}} \right) = {\left[ {f'\left( {{x_i}} \right)} \right]^2} - f''\left( {{x_i}} \right).f\left( {{x_i}} \right) = {\left[ {f'\left( {{x_i}} \right)} \right]^2} > 0,{\rm{ }}\forall {x_i}\) 

 \(g\left( x \right) = 0\) không có nghiệm \(x_i\)

Xét \(x \ne {x_i},\) ta có \(f'\left( x \right) = f\left( x \right)\left( {\frac{1}{{x - {x_1}}} + \frac{1}{{x - {x_2}}} + \frac{1}{{x - {x_3}}} + \frac{1}{{x - {x_4}}}} \right) = f\left( x \right).\sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} \)

\( \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}}  \Rightarrow {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} } \right)^\prime } \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} =  - \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{{{\left( {x - {x_i}} \right)}^2}}} < 0} ,\forall x\) 

hay \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right).f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \ne {x_i}\)

Vậy trong mọi trường hợp phương trình \(g(x)=0\) đều vô nghiệm.