Cho (intlimits_{16}^{55} {frac{{{ m{d}}x}}{{xsqrt {x + 9} }}}  = aln 2 + bln 5 + cln 11 với a, b, c là các số hữu t�

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \sqrt {x + 9}  \Rightarrow {t^2} = x + 9 \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = {\rm{d}}x\).

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_{16}^{55} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x\sqrt {x + 9} }}}  = \int\limits_5^8 {\frac{{2t{\rm{d}}t}}{{\left( {{t^2} - 9} \right)t}}}  = 2\int\limits_5^8 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{{t^2} - 9}}}  = \frac{1}{3}\left( {\int\limits_5^8 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{t - 3}}}  - \int\limits_5^8 {\frac{{{\rm{d}}t}}{{t + 3}}} } \right)\\
 = \left. {\frac{1}{3}\left( {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_5^8 = \frac{2}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 5 - \frac{1}{3}\ln 11
\end{array}\)

Vậy \(a = \frac{2}{3};b = \frac{1}{3};c =  - \frac{1}{3}\). Mệnh đề a - b = -c đúng.