Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z|(z-4-i)+2i=(5-i)z

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left| z \right|\left( {z - 4 - i} \right) + 2i = \left( {5 - i} \right)z \Leftrightarrow z\left( {\left| z \right| - 5 + i} \right) = 4\left| z \right| + \left( {\left| z \right| - 2} \right)i\)

Lấy môđun 2 vế phương trình trên ta được

\(\left| z \right|\sqrt {{{\left( {\left| z \right| - 5} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {{{\left( {4\left| z \right|} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| - 2} \right)}^2}} \).

Đặt t = |z|, \(t \ge 0\) ta được

\(t\sqrt {{{\left( {t - 5} \right)}^2} + 1}  = \sqrt {{{\left( {4t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2}}  \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} - 9{t^2} + 4} \right) = 0\).

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(t \ge 0\)  vậy có 3 số phức z  thoả mãn.