Cho hàm số (y = frac{1}{4}{x^4} - frac{7}{2}{x^2}) có đồ thị (C).

* Hướng dẫn giải

* Nhận xét đây là hàm số trùng phương có hệ số a > 0.

* Ta có y' = x³ - 7x nên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x =  - \sqrt 7 }\\
{{x_0} = \sqrt 7 }
\end{array}} \right.\).

* Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ( là đường thẳng qua hai điểm M, N) có hệ số góc:

\(k = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 6\). Do đó để tiếp tuyến tại \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có hệ số góc k = 6 > 0 và cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \( - \sqrt 7  < {x_0} < 0\) và \({x_0} \ne  - \frac{{\sqrt {21} }}{3}\) (hoành độ điểm uốn).

* Ta có phương trình: \(y'\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow x_0^3 - 7{x_0} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} =  - 2}\\
{{x_0} =  - 1}\\
{{x_0} = 3{\rm{ (}}l{\rm{)}}}
\end{array}} \right.\).

Vậy có 2 điểm A thỏa yêu cầu.