Cho hai hàm số (fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx - frac{1}{2}) và (gleft( x ight) = d{x^2} + ex + 1) (left( {a,b,c,d,e

* Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \\
 = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2}} \right]{\rm{d}}x}  - \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2}} \right]{\rm{d}}x} 
\end{array}\).

Trong đó phương trình \(a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0\) (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x).

Phương trình (*) có nghiệm -3; -1; 1 nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
 - 27a + 9\left( {b - d} \right) - 3\left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0\\
 - a + \left( {b - d} \right) - \left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0\\
a + \left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) - \frac{3}{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 27a + 9\left( {b - d} \right) - 3\left( {c - e} \right) = \frac{3}{2}\\
 - a + \left( {b - d} \right) - \left( {c - e} \right) = \frac{3}{2}\\
a + \left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
\left( {b - d} \right) = \frac{3}{2}\\
\left( {c - e} \right) =  - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\).

Vậy \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {\frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}} \right]{\rm{d}}x}  - \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}} \right]{\rm{d}}x}  = 2 - \left( { - 2} \right) = 4\).