Cho hàm số (y = frac{{x - 1}}{{x + 2}}) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C).

* Hướng dẫn giải

\(\left( C \right):y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = 1 - \frac{3}{{x + 2}}\).

I(-2; 1) là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).

Ta có: \(A\left( {a;1 - \frac{3}{{a + 2}}} \right) \in \left( C \right),B\left( {b;1 - \frac{3}{{b + 2}}} \right) \in \left( C \right)\).

\(\overrightarrow {IA}  = \left( {a + 2; - \frac{3}{{a + 2}}} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {b + 2; - \frac{3}{{b + 2}}} \right)\).

Đặt \({a_1} = a + 2,{b_1} = b + 2\left( {{a_1} \ne 0,{b_1} \ne 0,{a_1} \ne {b_1}} \right)\)

Tam giác ABI đều khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
I{A^2} = I{B^2}\\
\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \cos 60^\circ 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}} = b_1^2 + \frac{9}{{b_1^2}}\\
\frac{{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} }}{{IA.IB}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}} = b_1^2 + \frac{9}{{b_1^2}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\frac{{{a_1}{b_1} + \frac{9}{{{a_1}{b_1}}}}}{{a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}}}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\).

Ta có (1) \( \Leftrightarrow a_1^2 - b_1^2 + 9\left( {\frac{1}{{a_1^2}} - \frac{1}{{b_1^2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow a_1^2 - b_1^2 - 9\left( {\frac{1}{{b_1^2}} - \frac{1}{{a_1^2}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow a_1^2 - b_1^2 - 9\left( {\frac{{a_1^2 - b_1^2}}{{a_1^2b_1^2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a_1^2 - b_1^2} \right)\left( {1 - \frac{9}{{a_1^2b_1^2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a_1^2 = b_1^2\\
a_1^2b_1^2 = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a_1} = {b_1}\\
{a_1} =  - {b_1}\\
{a_1}{b_1} = 3\\
{a_1}{b_1} =  - 3
\end{array} \right.\).

Trường hợp a₁ = b₁ loại vì \[( \equiv /B,{a_1} =  - {b_1},{a_1}{b_1} =  - 3\) (loại vì không thỏa (2)).

Do đó \({a_1}{b_1} = 3\), thay vào (2) ta được \(\frac{{3 + \frac{9}{3}}}{{a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}} = 12\).

Vậy \(AB = IA = \sqrt {a_1^2 + \frac{9}{{a_1^2}}}  = 2\sqrt 3 \)