Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 2) và đi qua điểm A(1; -2; -1).

* Hướng dẫn giải

Đặt AB = a, AC = b, AD = c thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A, nội tiếp mặt cầu (S).

Khi đó ABCD là tứ diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA' là đường kính của cầu. Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{R^2}\).

Xét \( = {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}abc \Leftrightarrow {V^2} = \frac{1}{{36}}{a^2}{b^2}{c^2}\).

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^3} \ge {a^2}{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{4{R^2}}}{3}} \right)^3} \ge 36.{V^2}\)

\( \Leftrightarrow V \le {R^3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{{27}}\)

Với \(R = IA = 3\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{\max }} = 36\).