Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x).

* Hướng dẫn giải

Kẻ đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = f'(x) tại A(a; 10), \(a \in \left( {8;10} \right)\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x + 4} \right) > 10,khi\,3 < x + 4 < a\\
g\left( {2x - \frac{3}{2}} \right) \le 5,khi\,0 \le 2x - \frac{3}{2} < 11
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x + 4} \right) > 10,khi\, - 1 < x < 4\\
g\left( {2x - \frac{3}{2}} \right) \le 5,khi\,\frac{3}{4} \le x \le \frac{{25}}{4}
\end{array} \right.\).

Do đó \(h'\left( x \right) = f'\left( {x + 4} \right) - 2g'\left( {2x - \frac{3}{2}} \right) > 0\) khi \(\frac{3}{4} \le x < 4\).

Kiểu đánh giá khác:

Ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( {x + 4} \right) - 2g'\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)\).

Dựa vào đồ thị, \(\forall x \in \left( {\frac{9}{4};3} \right)\), ta có \(\frac{{25}}{4} < x + 4 < 7,f\left( {x + 4} \right) > f\left( 3 \right) = 10\);

\(3 < 2x - \frac{3}{2} < \frac{9}{2}\), do đó \(g\left( {2x - \frac{3}{2}} \right) < f\left( 8 \right) = 5\).

Suy ra \(h'\left( x \right) = f'\left( {x + 4} \right) - 2g'\left( {2x - \frac{3}{2}} \right) > 0,\forall x \in \left( {\frac{9}{4};3} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{9}{4};3} \right)\).