Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A(- 1;2) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) ?

* Hướng dẫn giải

\(y=x^3-3x+4\) (C)

TXĐ: D = R

\(y'=3x^2-3\)

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua A(-1;2) có hệ số góc k: \(y=k(x+1)+2\)

\(\Delta\) tiếp xúc với (C) \( \Leftrightarrow \) hệ phương trình có nghiệm:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 4 = k\left( {x + 1} \right) + 2\\
3{x^2} - 3 = k
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 4 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\,(1)\\
3{x^2} - 3 = k
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải phương trình (1):

\({\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1}\)

Như vậy qua A chỉ kẻ được một tiếp tuyến.

Chọn đáp án B.