Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên R và có đạo hàm \(f'(x)\) thỏa \(f'\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)g\left( x \right) + 2018\) với \(g\left( x \ri...

* Hướng dẫn giải

\(y = f\left( {1 - x} \right) + 2018x + 2019\)

\( \Rightarrow y' =  - f'\left( {1 - x} \right) + 2018\)

Theo đề ta có:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)g\left( x \right) + 2018\\
 \Rightarrow  - f'\left( x \right) =  - \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)g\left( x \right) - 2018\\
 \Rightarrow  - f'\left( x \right) + 2018 =  - \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)g\left( x \right)
\end{array}\)

Cho \( - f'\left( x \right) + 2018 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 3
\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra:

\( - f'\left( x \right) + 2018 > 0,\forall x \in \left( { - 3;2} \right)\)

Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
 - f'\left( {1 - x} \right) + 2018 > 0\\
 \Leftrightarrow  - 3 < 1 - x < 2\\
 \Leftrightarrow  - 1 < x < 4
\end{array}\)

Suy ra hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2018x + 2019\) đồng biến trên \((-1;4)\)

Mà \(\left( {0;3} \right) \subset \left( { - 1;4} \right)\) \(\Rightarrow\) Chọn C.