Biết hàm số \(f\left( x \right) = a\sin x - b\cos x - x\) \(\left( {0...

* Hướng dẫn giải

\(f'\left( x \right) = a\cos x + b\sin x - 1\)

Vì hàm số đạt cực trị tại \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{\pi }{2}\) nên:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0\\
f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a\cos \frac{\pi }{6} + b\sin \frac{\pi }{6} - 1 = 0\\
a\cos \frac{\pi }{2} + b\sin \frac{\pi }{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt 3 }}{2}a + \frac{1}{2}b = 1\\
b = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
b = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó \(S = {a^2} + {b^4} = \frac{4}{3}\)

Chọn D.