Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^3} - m{x^2} + 3x + 2m + 1\) đồng biến trên tập xác định của nó

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R

TH1: \(m=2\), hàm số trở thành:

\(y =  - 2{x^2} + 3x + 5\) có

\(y' =  - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)

Lập BBT ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{4}} \right)\) → Loại \(m=2\)

TH2: \(m \ne 2\)

\(y' = 3\left( {m - 2} \right){x^2} - 2mx + 3\)

Hàm số đồng biến trên R 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
\Delta {'_{y'}} \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
{m^2} - 9m + 18 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 2\\
3 \le m \le 6
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow 3 \le m \le 6
\end{array}\)

Vì \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\)

Chọn A.