Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = m{x^3} + 3{x^2} + {m^2},\left( {m \ne 0} \right)\) đồng biến

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = 3m{x^2} + 6x;y' = 0\)

\(\Leftrightarrow 3m{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
{x_2} =  - \frac{2}{m}
\end{array} \right.\)

Điều kiện \(m \ne 0\).

Vẽ bảng xét dấu đạo hàm y' ta cần biết dấu của hệ số a = 3m. Ta có nhận xét sau:

Nếu \(a = 3m > 0 \Rightarrow {x_2} < {x_1}\) thì ta có bảng xét dấu

Khi đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_2}} \right)\) và \(\left( {{x_1}; + \infty } \right)\). Không thỏa đề nên loại trường hợp \(a = 3m > 0\).

Nếu \(a = 3m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

\( \Rightarrow {x_1} < {x_2}\), ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số chỉ luôn đồng biến trên khoảng \((x_1;x_2)\).

Yêu cầu bài toán

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - \frac{2}{m} - 0} \right| = 2\\
 \Leftrightarrow  - \frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m =  - 1
\end{array}\)