Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Độ dài \(SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm BC.

Ta chứng minh được góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABCD) bằng góc \(\widehat {SMO} = 60^\circ \).

Đặt AB = x. Độ dài \(SO = OM.\tan 60^\circ  = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \\
 = \frac{{x\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow x = a
\end{array}\)

Khối nón có chiều cao \(h = SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\),

Bán kính đáy \(R = OM = \frac{a}{2}\).

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h\\
 = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\pi \sqrt 3 }}{{24}}
\end{array}\)