Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AA và BC.

* Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của A'D'.

Khi đó MN // AE // BP.

Do đó thiết diện cần tìm là hình thang MNPB.

Dựa vào các tam giác vuông thì:

\(BP = \sqrt {BB{'^2} + B'{P^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) 

Và \(MN = \frac{1}{2}AE = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)

\(MB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2};NP = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{4}\);

\(\begin{array}{l}
MP = \sqrt {PA{'^2} + A'{M^2}} \\
 = \sqrt {A'B{'^2} + B'{P^2} + A'{M^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}
\end{array}\).

Sử dụng công thức Hê-rông để tính \({S_{\Delta MPB}} = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{8}\).

Ta có chiều cao hình thang là:

\(h = \frac{{2{S_{\Delta MBP}}}}{{BP}} = \frac{{2.\frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{8}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt {105} }}{{10}}\)

Vậy \({S_0} = \frac{{h\left( {MN + BP} \right)}}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt {21} }}{{16}}\).