Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài  cm và chiểu rộng 8cm.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(EF = x,EC = 8 - x\)

\( \Rightarrow FC = \sqrt {{x^2} - {{\left( {8 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {16x - 64} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta ADF \sim \Delta FCE\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \frac{{EF}}{{AF}} = \frac{{CF}}{{AD}}\\
 \Rightarrow AF = \frac{{EF.AD}}{{FC}} = \frac{{8x}}{{\sqrt {16x - 64} }}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
y = AE = \sqrt {A{F^2} + E{F^2}} \\
 = \sqrt {\frac{{64{x^2}}}{{16x - 64}} + {x^2}}  = \sqrt {\frac{{16{x^3}}}{{16x - 64}}} \\
f\left( x \right) = \frac{{16{x^3}}}{{16x - 64}}\,\,x \in \left( {0;8} \right)\\
f'\left( x \right) = \frac{{48{x^2}\left( {16x - 64} \right) - 16.16{x^3}}}{{{{\left( {16x - 64} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 768{x^3} - 3072{x^2} - 256{x^3} = 0\\
 \Leftrightarrow 512{x^3} - 3072{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)

BBT

\(y = \sqrt {f\left( x \right)}  \Rightarrow {y_{\min }} = \sqrt {{f_{\min }}}  = \sqrt {108}  = 6\sqrt 3 \)