Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1.

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
P = {\left( {2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a} \right)^2} + 3\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\\
 = \frac{4}{{{{\left( {{{\log }_a}\frac{a}{b}} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\log }_a}b}} - 3\\
 = \frac{4}{{{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\log }_a}b}} - 3
\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _a}b\) (Do \(a > b > 1 \Rightarrow 0 < t < 1\)).

Xét \(f\left( t \right) = \frac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + \frac{3}{t} - 3\)

Khi đó \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 8}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} - \frac{3}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( t \right) =  + \infty ;f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 15\)

Do đó \({P_{\min }} = 15\)