Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều ba đỉnh A, B, C

* Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên \(AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Do đỉnh A’ cách đều ba đỉnh A, B, C nên \(A'G \bot (ABC) \Rightarrow A'G\) là đường cao của khối lăng trụ.

Theo giả thuyết ta có: \(\widehat {A'AG} = {45^0} \Rightarrow \Delta A'GA\) vuông cân.

Từ đó suy ra \(A'G = AG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy thể tích của khối lăng trụ bằng: \(V = A'G.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}.\)