Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sqrt 2 cos 2x + 4sin x trên đoạn [{0;frac{pi }{2}}].

* Hướng dẫn giải

\(y' = 4\cos x\left( { - \sqrt 2 \sin x + 1} \right)\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\cos x = 0\end{array} \right.\)

\(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt 2 \\y = 4 - \sqrt 2 \\y = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} y = \sqrt 2 \)